林俊鈺／國研院高速網路與計算中心副研究員，協助推廣產學界的高速計算應用。研究興趣為平行計算與天文物理。
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重力，是生活中最熟悉的基本作用力，也是科學革命的起源之一。自16 世紀以來，科學家如哥白尼、布拉赫、伽利略、克卜勒等人，從天體軌道的觀測歸納出行星運動的規律與太陽系的樣貌，並且在牛頓的《自然哲學的數學原理》中精簡成三大運動定律與萬有引力定律，影響了往後約兩百年的科學思想。
《自然哲學的數學原理》Source: Wiki
1915 年，愛因斯坦的廣義相對論，對強重力下的牛頓理論做了修正，並成功解釋水星軌道偏移（進動）（參考動畫）與牛頓理論所預測的差異。這每一世紀僅僅43 角秒的微小偏移，代表兩個理論對時空本質截然不同的解釋。重力被重新詮釋成質量彎曲時空的結果，所造成的現象如時間延遲、光線偏折或是重力造成的頻率偏移等，已在過去一個世紀中太陽系內的各種精密實驗得到證實。我們日常生活中所依賴的全球定位系統，也利用廣義相對論進行修正，以抵銷高度約兩萬公里的衛星與地面的時間差。
何謂重力波？
廣義相對論發表的隔年，愛因斯坦發現弱重力場近似下的場方程式具有波動特性：就如同電荷的加速會輻射出電磁波，質量的加速也會輻射出重力波，並以光速傳遞重力場的能量、動量與角動量。
所謂的重力波，即是「時空曲率」以波的形式向外傳播的擾動。時空曲率是引力的來源，當光線經過質量較大的星球時，會造成光線路徑的彎曲。質量越大，所造成的曲率也越大。時空曲率也會影響長度或角度等幾何性質的變化，而長度變化比率正比於重力波的振幅。任何非對稱的質量分布變化（精確地說，是質量的四極矩變化：以橄欖球為例，沿著長軸轉動並不會產生重力波，但沿著其他軸轉動則會）都會產生重力波，例如旋轉的中子星、或其他緻密星體如黑洞的互繞與碰撞、超新星爆炸、甚至是宇宙誕生的大爆炸，都會產生如漣漪般的時空曲率波動，並傳遞至地球造成微小的長度變化。
重力效應無法藉由單顆粒子的運動來測量，因為我們無法區分局部重力與加速下的慣性力兩者間的差別，如：電梯上升瞬間的加速度，就像重力一般會使人感覺變重（即等效原理）。真正可觀測的效應是潮汐力，即物體因重力，而感受到垂直兩方向的收縮及擴張，就好像地表海水受月球影響在不同處形成的漲潮與退潮。
假設有一平面重力波穿出紙面以z 軸傳遞，潮汐力會使下圖環形排列的測試質量分別在垂直與水平方向擴張與壓縮，兩個偏振方向差別45 度。但它的效應實際上十分微弱，比如在室女座星系團的雙中子星碰撞產生的重力波，經過四千五百萬光年傳遞到地球的振幅──僅10-20 量級，也就是每公里的長度改變只有原子核尺度的百分之一。而人為造成的重力波更小了，愛因斯坦方程式的非線性性質也讓近距離的重力波定義不那麼明確。
環形排列的測試質量受不同偏振方向之重力波下的影響。 (Wm. Robert Johnston)
如何觀測重力波？
重力波是否只是單純的座標變換假象？愛因斯坦也曾懷疑重力波是否可能被觀測到。重力波存在的間接證據，在80 年代以後才逐漸明朗，並於脈衝雙星軌道週期的觀測中被證實。不過早在60 年代起，馬里蘭大學的韋伯（Joseph Weber）就開始嘗試觀測重力波。他所製作的探測器是一個兩公尺長，直徑一公尺的鋁製圓柱，共振頻率約在1660 Hz，表面的壓電材料會因重力波通過而形變並產生電流。韋伯準備了兩個相距約一千公里的相同偵測器以排除局部區域的雜訊，並宣稱觀測到來自銀河系中心的重力波。然而，此實驗引起相當多爭議，現今也認為當時的靈敏度並不足以觀測到訊號，但韋伯啟發了後來的重力波探測。韋伯的共振型探測器的頻寬較窄為其致命傷。所以自60 年代開始，包含韋伯本人的科學家，開始思考利用麥克遜干涉儀來測量重力波所造成的潮汐力。
雷射干涉儀重力波探測器示意圖。 Source: Yinweichen
干涉儀利用雷射光的相位干涉來測量微小距離變化：如上圖，穩定的雷射光經由分束器分為兩束，並分別在兩測試質量（反射鏡）間所形成的光學共振腔（光儲存臂）中來回數百次後，沿原路回到分束器合併，並產生干涉條紋。共振腔可使光程增加數百倍並提高靈敏度。當重力波經過時，干涉儀兩臂的長度改變就會造成干涉條紋變化。大型雷射干涉儀的規模遠比共振圓柱探測器宏大，無論建置或運作都涉及龐大團隊，所以在70 年代末期，科學家開始從數十公尺的小型干涉儀測試所需的技術。90 年代起，開始規劃公里等級的地面大型重力波雷射干涉儀。
目前運作中的第一代重力波干涉儀網路包括美國華盛頓與路易西安那的兩座偵測器LIGO、義大利的Virgo、德國的GEO600、日本的TAMA300。由於宇宙中的重力波波源及波長通常遠大於公里尺度的干涉儀，因此單座干涉儀的方位解析度很低，干涉儀網路除了能消除局部區域雜訊以增加信號可信度外，也強化了定位能力。第一代干涉儀網路可定位波源方向約十幾度的解析度；相比之下，電磁波的觀測動輒能達到角秒以下的解析度。
美國華盛頓重力波偵測器：LIGO。 Source: 左(Keenan Pepper)、中(Dmitry Alexeenko)、右(DmitryAlexeenko)
預計2015 年底後，第二代重力波干涉儀將陸續運作，以觀測十到十萬赫茲範圍的重力波。除了第一代成員的升級，印度的IndIGO 也將加入，方位解析度也可提高。它們的靈敏度與觀測半徑約是第一代的十倍，也就是一千倍的觀測範圍與機率，可偵測十億光年內的雙中子星碰撞，或更遠的黑洞碰撞，遠遠超過我們所處的超星系團。歐洲太空總署也預計在十年內，將三艘太空船組成的大型雷射干涉儀eLISA 送入地球公轉軌道，以探索更低頻的重力波，約是地面干涉儀頻段的萬分之一。
自21 世紀初以來，雖然尚未直接觀測到重力波，但技術上確實可在各種內外的震動、熱擾動、以及雷射光的量子擾動下，測量遠小於原子核尺度的長度變化。目前的結果也提供了重力波的相關訊息：例如，脈衝星的自旋減慢速度、黑洞或中子星雙星系統的發生機率、重力波背景輻射（來自於早期宇宙的原始重力波、或是銀河系內許多鄰近白矮星碰撞所造成的重力波總和）的強度上限。
重力波計算
為了實際將重力波應用到未來的天文學上，針對緻密雙星如黑洞或中子星的互繞與碰撞所產生的連續重力波訊號，科學家必須先建立不同波源及參數的波形，作為匹配濾波（matched filtering）的模板，與觀測信號逐一比對，以擷取出波源質量、自旋、自轉周期、軌道面及方位等訊息。就像指紋比對或是潛艇利用聲紋資料庫比對來判斷敵艦。
黑洞可說是廣義相對論中最神祕的部分，卻是個沒有內部結構的單純物體，只需要質量、角動量與電荷三個參數即可描述，而且它們的動力學僅牽涉時空的演化。實際的黑洞周遭多半會圍繞著星際電漿等物質，並且伴隨吸積過程產生各種電磁輻射，增加了建立數學模型的困難。相比於牛頓雙體運動的圓錐曲線解析解，雙黑洞演化——最簡單的廣義相對論雙體運動，也倚賴愛因斯坦方程式的數值計算，特別是中段的融合波形，直到2005 年才首度被計算出來。
雙黑洞與吸積盤的演化模擬。從上到下顯示雙黑洞從開始脫離吸積盤後旋入到融合的過程，可以清楚觀察各別的黑洞磁場集中至兩極形成噴流並合併成一條。 Source: Roman Gold et al. in arXiv:1312.0600 and arXiv:1410.1543
雙黑洞演化會以近乎圓形軌道互繞旋入（Inspiral）、碰撞融合（merger）、最後趨於穩定（Ringdown），過程中的重力波頻率逐漸上升，每互繞一圈並產生出兩個周期的重力波。當雙黑洞距離夠遠時，互繞的速度遠小於光速，軌道半徑因微弱的重力輻射逐漸縮小；到了臨界距離，約為事件視界（event horizon，可視為黑洞的邊界，任何訊息，包括光，一旦進入就無法逃出，完全獨立於視界外的觀察者）半徑的八倍時，黑洞接近光速，強大潮汐力使雙黑洞傾刻間撕裂崩潰並碰撞融合成單一黑洞，產生最強的重力波；最後，融合後的黑洞震盪並逐漸靜默成為靜態黑洞，此時的頻率約為反比於質量的自然振動頻率。整個過程大約損失10%以下的質量轉變成重力波輻射。一個十倍太陽質量的黑洞雙星臨界距離約為兩百公里，融合過程只需數百毫秒。
數值相對論
模擬非線性愛因斯坦方程式衍生出一門新興學科：數值相對論。計算上的首要問題是，如何在形式上為四維的愛因斯坦方程式中，解讀出空間與時間概念？畢竟自1905 年的狹義相對論後，物理定律都可用四維張量（可以想像成具有多個方向的向量）表示，使得慣性座標下的物理定律都具有一樣的形式：物理現象雖看似不同，但在各個平移、轉動及等速座標系間皆有確定的（羅倫茲）轉換關係（就好像在非相對論的日常經驗下，我們用向量來描述物體運動並熟悉它的轉換，因此在雨中奔跑時，預期垂直下落的雨滴會迎面而來一般）。更遑論廣義相對論下，每一點都可以有不同的慣性座標，使得時間與空間的概念更糾纏不清。
經過了近半個世紀後，形式上四維的愛因斯坦方程式終於被拆解成較明確的三維空間的演化方程。在分解表示下，四維時空可被任意地「切」成三維空間的堆砌，不同的切法是由四個參數來描述，分別代表相鄰切片的時間與空間平移。一旦知道某初始切片的三維內稟曲率（只依賴於切片上的幾何性質，例如三角形的內角和，而不依賴於它如何鑲嵌在四維時空）以及「速度」（也就是三維切片的外賦曲率，描述該曲面如何鑲嵌在四維內。例如，將一張紙捲曲成圓柱狀，即使在三維空間看起來，二維紙面的法向量呈現發散狀──外賦曲率增加，但對於紙面上的螞蟻而言，它們所畫出的三角形內角和為180 度，內稟曲率仍為零），並設定相鄰切片的四個參數，愛因斯坦方程式就能決定接下來的演化結果。無論怎麼切，拼湊起來都可重建成相同的四維時空。這也意味著座標只是一種標記，不會影響到原本的幾何性質。以一條白吐司的三維空間為例，可以選擇漂亮地切成每一片寬度相同的二維片，也可以切得歪七扭八，但拼湊起來都會重建成相同幾何性質的三維白吐司。
在過去，即使是最簡單的單黑洞計算模擬也非常不穩定，對於十倍太陽質量的單一靜態黑洞系統的預測尚不及半秒鐘，就好像只能預測下一秒鐘的氣象預報是沒有意義的。人們逐漸了解這並不是數值方法的問題，而是演化方程式本身的不穩定，使得在有限位數的電腦計算中，微小誤差迅速地以指數成長並破壞計算結果。
1995 年後，日本與美國的物理學家分別以數學上等價的演化方程式解決了不穩定的問題，搭配上適當的時空切片，之後的發展豁然開朗。第一個完整的雙黑洞旋入碰撞融合波形在2005 年分別由加州理工學院、美國太空總署與德州大學三個研究群發表。現在的科學家已有能力以數百台電腦進行長時間的黑洞或中子星模擬。目前的趨勢是考慮更實際的相對論電磁流體問題，如吸積盤與噴流、中子星黑洞演化、超新星爆炸過程等。
數值相對論在重力波觀測上扮演獨特的角色，因為它是唯一可計算出複雜天體過程及其完整重力波的工具。未來，這些精確波形將作為波形模板，與重力波干涉儀的觀測做交叉比對以獲取波源性質。隨著觀測靈敏度增加，就需要更準確的模擬波形。數量也是挑戰之一，例如雙黑洞波形就至少包含七個參數，如質量比、自旋等，即使每個維度只取十個代表點，波形模板數量也很驚人，因此除了資料的降維技術等其它近似方法，龐大計算量不可避免，模板數量需求甚至可達百萬數量級。如果考慮更複雜的中子星系統，包含電磁場、微中子傳輸方程、輻射傳輸等熱效應，參數空間更大。
模擬與觀測
從2006 年起，模擬與資料分析團隊逐漸建立起共同語言，並在2009 年後，開始正視理論或數值波形在重力波干涉儀觀測中扮演的角色，此時全球的重力波干涉儀觀測已進行一段時間了，並且LIGO 正起動第六次的運行。在這一次運作中，觀測團隊祕密地將一個模擬重力波訊號「注入」到干涉儀網路中，人為製造反射鏡的移動以產生假信號，來測試資料分析團隊是否可將該信號找出來。結果不負眾望，他們獨立地發現了這個模擬的雙黑洞碰撞訊號，並且通知合作的天文台關注該天區接下來的發展。未來的模擬將朝向最極端天文現象的分析。以「伽瑪射線爆」為例，吸積物質、磁場與重力的交互作用會產生高能量光子與可觀測的電磁訊號，例如電子加速形成的同步輻射，或是光子與原子碰撞產生逆康普敦散射而獲得的能量。
最近2011 年的模擬中，科學家首次計算出兩個直徑約十幾公里的中子星碰撞融合成黑洞，並產生噴流的過程。在融合後的瞬間，磁場從一團混亂的炙熱物質中逐漸增加至地球磁場的一千兆倍，並且向兩極形成類似漏斗的狹窄通道，形成高能量噴流。在雙黑洞模擬中也出現類似的噴流。這些噴流或電磁輻射與重力波形成的時間及強度關係，都是理解未知天文過程以及增加重力波觀測的機會。
耗時將近兩個月的中子星碰撞模擬。在這個歷時不到30 毫秒的炫麗過程，顯示中子星融合並形成黑洞後的瞬間，以白色線條表示的磁場迅速增強自並從兩極延伸出去。 Source: M. Koppitz and L. Rezzolla from NASA/AEI/ZIB
高能天文物理現象，往往伴隨著物質與強重力場的相互作用，因此仰賴廣義相對論扮演探索未知宇宙的嚮導；另一方面，深空的觀測也同時檢驗著這些基本理論。未來的天文學將結合重力波觀測以及近來的宇宙線或微中子觀測，開啟探索宇宙的另一扇窗，讓我們一窺宇宙深處，帶來新的驚奇。近一個世紀的重力波理論，在經歷近半個世紀的觀測實驗後，也將有希望在下階段的大型觀測中獲得直接證實。
延伸閱讀：
- Kip S. T., Black Holes and Time Warps: Einstein’s Outrageous Legacy, 1995.
- Sathyaprakash, B. S., Schutz, B. F., Physics, Astrophysics and Cosmology with Gravitational Waves, 2009.
- Centrella, J. M. et al., Black-hole binaries, gravitational waves, and numerical relativity, Rev. Mod. Phys., Vol. 82:3069, 2010.
〈本文選自《科學月刊》2015年8月號〉
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愛因斯坦與廣義相對論的誕生
時間起源與量子重力
什麼？！你還不知道《科學月刊》，我們46歲囉！
入不惑之年還是可以當個科青
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